Introducción
Definición. Un árbol AVL es un árbol binario de búsqueda que cumple con la condición de que la diferencia entre las alturas de los subárboles de cada uno de sus nodos es, como mucho 1.
La denominación de árbol AVL viene dada por los creadores de tal estructura (Adelson-Velskii y Landis).
Recordamos que un árbol binario de búsqueda es un árbol binario en el cual cada nodo cumple con que todos los nodos de su subárbol izquierdo son menores que la raíz y todos los nodos del subárbol derecho son mayores que la raíz.
Recordamos también que el tiempo de las operaciones sobre un árbol binario de búsqueda son O(log n) promedio, pero el peor caso es O(n), donde n es el número de elementos.
La propiedad de equilibrio que debe cumplir un árbol para ser AVL asegura que la profundidad del árbol sea O(log(n)), por lo que las operaciones sobre estas estructuras no deberán recorrer mucho para hallar el elemento deseado. Como se verá, el tiempo de ejecución de las operaciónes sobre estos árboles es, a lo sumo O(log(n)) en el peor caso, donde n es la cantidad de elementos del árbol.
Sin embargo, y como era de esperarse, esta misma propiedad de equilibrio de los árboles AVL implica una dificultad a la hora de insertar o eliminar elementos: estas operaciones pueden no conservar dicha propiedad.
A modo de ejemplificar esta dificultad, supongamos que al árbol AVL de enteros de Figure 1 le queremos agregar el entero 3. Si lo hacemos con el procedimiento normal de inserción de árbols binarios de búsqueda el resultado sería el árbol de Figure 2 el cual ya no cumple con la condición de equilibrio de los árboles AVL dado que la altura del subárbol izquierdo es 3 y la del subárbol derecho es 1.
En the Section called Rotaciones simples se pasará a explicar una serie de operaciones sobre los nodos de un árbol AVL con las cuales poder restaurar la propiedad de equilibrio de un árbol AVL luego de agregar o eliminar elementos.
Declaración del tipo de dato
Iremos ya declarando el tipo de dato que representará un árbol AVL. Esto nos ayudará a formalizar las cosas y nos permitirá en el correr de este documento ir definiendo las operaciones sobre el tipo de dato abstracto.
El lenguaje a utilizar será C. Fue elegido tan sólo por gustos personales del autor de este documento. Sin embargo se tratará de usar sólo aquellas características de C que puedan ser fácilmente implementadas en la mayoría de los lenguajes estructurados como Pascal, Modula-2, etc.
Algunas consideraciones sobre la implementación del tipo de dato abstracto
Las declaraciones que se listarán a continuación no tienen porqué tomarse al pie de la letra. Cada programador tendrá su estilo y su forma de resolver sus problemas.
Las declaraciones que se listarán a continuación no tienen porqué tomarse al pie de la letra. Cada programador tendrá su estilo y su forma de resolver sus problemas.
Como se podrá ver en el siguiente listado, la única diferencia de los nodos de un árbol AVL con los de un árbol binario común es la variable altura en la estructura nodo.
Los nodos de un árbol pueden almacenar cualquier tipo de dato, arbitrariamente complejo. En este documento, por razones de simplicidad se usará el tipo de dato más simple que soporte comparaciones, o sea los enteros (tipo int de Ansi C). En el caso de que los datos almacenados en cada nodo sean más complicados (por ejemplo estructuras) o sean dinámicamente almacenados en memoria, algunas funciones deberán adaptarse para manejarlos. Por ejemplo, se deberá pasar como parámetros funciones de comparación, equivalencia, y de liberación de memoria.
A continuación se lista la declaración del tipo abstracto de dato Árbol AVL:
typedef struct AVLNode AVLTree;
struct AVLNode
{
int dato; 
AVLTree izq;
AVLTree der;
int altura; 
};
- Como ya dijimos, por cuestiones de simplicidad, la información almacenada en cada nodo del árbol será un entero.
- Cada nodo tendrá almacenada su propia altura con respecto a la raíz absoluta del árbol con el que estamos trabajando. Esta característica se verá en the Section called Consideraciones sobre la altura de los nodos.
A continuación declaramos las operaciónes básicas sobre árboles binarios y con las cuales trabajaremos para acceder al tipo abstracto de dato Árbol AVL de aquí en más.
Note: Si se usa algún lenguaje orientado a objetos como C++ o java y ya se tienen clases como árboles binarios o árboles binarios de búsqueda, conviene declarar los árboles AVL como una subclase de alguna de estas. Luego, las operaciones declaradas a continuación se heredarán de estos tipos.
/* Constructores */ AVLTree *vacio (void); /* devuelve un árbol AVL vacío */ AVLTree *hacer (int x, AVLTree * izq, AVLTree * der); /* devuelve un nuevo árbol formado por una raíz con valor x, subárbol izquierdo el árbol izq y subárbol derecho el árbol der. */ /* Predicados */ bool es_vacio (AVLTree * t); /* devuelve true sii. t es un árbol vacío. */ /* Selectores */ AVLTree *izquierdo (AVLTree * t); /* devuelve el subárbol izquierdo de t. */ AVLTree *derecho (AVLTree * t); /* devuelve el subárbol derecho de t. */ int raiz (AVLTree * t); /* devuelve el valor de la raíz del árbol t. Precondición: !es_vacio(t) */ int altura (AVLTree * t); /* devuelve la altura del nodo t en el árbol */ /* Destructures */ void destruir (AVLTree * t, void (*free_dato) (int)); /* libera la memoria ocupada por los nodos del árbol. Si los datos almacenados en cada nodo están almacenados dinámicamente y se los quiere liberar también, debe pasarse como segundo parámetro una función de tipo void func(int t) que libere la memoria de objetos int. Si los datos no están almacenados dinámicamente o simplemente no se los quiere destruir (liberar de memoria), pásese como segundo parámetro NULL. Nota: Función Recursiva! */
Note: Como se ha podido apreciar en el segmento de código anterior, se ha tratado de usar, en lo posible, el lenguaje español tanto para los comentarios como para los identificadores de variables y funciones. Sin embargo, esto se hace sólo con motivo de ser coherentes con el documento y el autor recomienda a los lectores programadores que en sus programas utilicen el lenguaje inglés para nombrar los identificadores.
Consideraciones sobre la altura de los nodos
Como vimos en la definición del tipo abstracto para nodos de árboles AVL, se necesitará tener acceso a la altura cada nodo del árbol en tiempo constante. Dado que una función para hallar la altura de un nodo dado en un árbol tendrá un tiempo de ejecución de O(log(n)) peor caso, no nos queda otra alternativa que almacenar una variable altura en cada nodo e irla actualizando en las inserciones y eliminaciones que se efectúen sobre el árbol.
Como el lector ya debería saber, una función para calcular la altura de un nodo puede escribirse recursivamente como:
int altura(AVLTree *t)
{
if(es_vacio(t))
return -1;
else
return max(altura(izquierdo(t)), altura(derecho(t)));
}Queremos que la altura de un árbol que consta de sólo un nodo sea 0. Entonces debemos definir la altura de un árbol vacío como -1.
Sin embargo, no podemos darnos el lujo de tener una función cuyo tiempo de ejecución siempre es O(n) ya que, como dijimos, necesitamos la altura de un nodo en tiempo constante. Para ello, redefiniremos la función de la siguiente manera, aprovechando el campo altura que ahora tiene cada nodo del árbol.
int altura (AVLTree * t)
{
if(es_vacio(t))
return -1;
else
return t->altura;
}Important: Debemos tener mucho cuidado en actualizar el campo altura de cada nodo siempre que modifiquemos de alguna manera el árbol AVL.
Así, es importante tener una función que nos permita actualizar la altura de un nodo cualquiera del árbol y cuyo tiempo de ejecución sea O(1) en el peor de los casos. A continuación se lista una tal función:
void
actualizar_altura (AVLTree * t)
{
if(!es_vacio(t))
t->altura = max (altura ((t)->izq), altura ((t)->der)) + 1;
}Rotaciones simples
Veremos a continuación una operación sencilla sobre un árbol binario de búsqueda que conserva el órden en sus nodos y que nos ayudará a restaurar la propiedad de equilibrio de un árbol AVL al efectuar operaciones sobre el mismo que puedan perturbarla.
Miremos por un momento el árbol de Figure 3. Dado que este es un árbol de búsqueda se debe cumplir x < y y además todos los nodos del subárbol A deben ser menores que x y y; todos los nodos del subárbol B deben ser mayores que x pero menores que y; y todos los nodos del subárbol C deben ser mayores que y y por lo tanto que x.
En Figure 4 se ha modificado sencillamante el árbol. Como puede verificarse fácilmente por las desigualdades descriptas en el párrafo anterior, el nuevo árbol sigue manteniendo el órden entre sus nodos, es decir, sigue siendo un árbol binario de búsqueda. A esta transformación se le denomina rotación simple (o sencilla).
Veamos un ejemplo concreto. Deseamos insertar el número 3 en el árbol de enteros de Figure 5. La inserción se muestra punteada en Figure 6. Sin embargo, como puede verse, la inserción a provocado la pérdida de la propiedad de equilibrio del árbol ya que dicha propiedad no se cumple en el nodo marcado con rojo. ¿Qué hacemos para recomponer dicha pripiedad? Simplemente realizamos una rotación simple. En este caso se dice que la rotación es izquierda ya que la "pérdida de equilibrio se produce hacia la izquierda. En Figure 7 puede verse el árbol luego de la rotación: la propiedad de equilibrio ha sido reestablecida. Como mostramos atrás, la rotación conserva el orden entre los nodos, por lo que podemos afirmar que este último árbol si es AVL.
Figure 7. Reestablecimiento de la propiedad de equilibrio mediante una rotación simple sobre el nodo de valor 5.
Como podemos observar, el resultado luego de la rotación es un árbol AVL: posee tanto el órden correcto de un árbol de búsqueda entre sus nodos y la propiedad de equilibrio. En este caso el "desequilibrio" en el árbol con raíz 5 era enteramente hacia la izquierda y por lo tanto, como ya dijimos, la rotación efectuada se denomina rotación simple izquierda. En el caso de un "desequilibrio" hacia la derecha, la rotación es análoga y se denomina rotación simple derecha. En Figure 8 se ven dos árboles: el primero tiene un "desequilibrio hacia la derecha" marcado en rojo y el segundo es el resultado de aplicar una rotación simple derecha.
Figure 8. Ejemplo de reestablecimiento de propiedad de equilibrio gracias a una rotación simple derecha.
Ilustración de la operación rotación simple. en Figure 9 se ilustra la operación rotación simple. Los arcos de colores son los que se eliminan o agregan, según sea la rotación izquierda o derecha.
Implementación de la rotación simple:
void rotar_s (AVLTree ** t, bool izq);
{ AVLTree *t1; if (izq) /* rotación izquierda */ { t1 = izquierdo (*t); (*t)->izq = derecho (t1); t1->der = *t; } else /* rotación derecha */ { t1 = derecho (*t); (*t)->der = izquierdo (t1); t1->izq = *t; } /* actualizamos las alturas de ambos nodos modificados */ actualizar_altura (*t); actualizar_altura (t1); /* asignamos nueva raíz */ *t = t1; }
- Declaración de la función rotar_s(). Esta declaración y el siguiente comentario deberían ir en el archivo de cabecera, interfaz del tipo abstracto árbol AVL con el usuario.
- Un breve comentario que explica lo que hace la función, los parámetros que acepta y las precondiciones que éstos deben cumplir para que la función se ejecute correctamente.
- Como el programador de C más experimentado puede ver, el paso a la función es el paso por referencia clásico en C. Lo que se pasa no es un puntero a la raiz del árbol sino la dirección de dicho puntero. De esta manera, dentro de la función podremos cambiar la misma raiz si es necesario (lo que justamente hacemos en las rotaciones).
- También se acepta como segundo parámetro un valor boleano que determina si la rotación simple a efectuar sobre el árbol es izquierda o derecha.
Rotaciones dobles
Hemos visto cómo restaurar la propiedad de equilibrio cuando se presentan desequilibrios "hacia la izquierda" o "hacia la derecha" luego de realizar inserciones en un árbol AVL. Sin embargo y como veremos, pueden ocurrir "desequilibrios en zig-zag", es decir desequilibios que no son ni a la derecha ni a la izquierda como es el caso de los árboles de Figure 10.
En estos casos se aplica otro tipo de rotación denominado rotación doble la cual, análogamente a la rotación simple, puede ser izquierda o derecha según el caso.
En realidad, la rotación doble constará de dos rotaciones simples. El caso general de la rotación doble izquierda en un árbol AVL se puede observar en Figure 11.
La rotación doble derecha es el proceso inverso a la rotación doble izquierda.
Dado que, como vimos, una rotación doble es en realidad dos rotaciones simples, podemos implementar la función para la rotación doble tan sólo utilizando rotar_s vista en the Section called Implementación de la rotación simple: lo cual se hace a continuación:
void rotar_d (AVLTree ** t, bool izq);
- Declaración de la función rotar_d(); debería ir en un archivo de cabecera.
- Los parámetros de rotar_d() son análogos a los de rotar_s() vistos en the Section called Implementación de la rotación simple:.
Balance del árbol
Como se mostró anteriormente, cda vez que se modifique el árbol (i.e. agreguen o eliminen elementos) corremos el riesgo de que pierda su propiedad de equilibrio en alguno de sus nodos, la cual debe conservarse si queremos obtener tiempos de ejecución de orden O(log(n)) en el peor de los casos.
La idea general que se utiliza en esta implementación de árboles AVL para implementar los algoritmos de inserción y de eliminación de nodos sobre un AVL es la siguiente:
Efectuar los algoritmos de igual forma que en los árboles binarios de búsqueda pero
en cada recursión ir actualizando las alturas y rebalanceando el árbol en caso de que sea necesario.
En the Section called Consideraciones sobre la altura de los nodos se implementó una función de tiempo de ejecución O(log(n)), peor caso, para actualizar la altura de un nodo. Así, lo que nos falta es una función que detecte un "desequilibrio" en un nodo dado del árbol y por medio de un número finito de rotaciones lo equilibre.
Important: No se demostrará aquí, pero cabe señalar la existencia de un teorema que asegura que el número máximo de rotaciones para equilibrar un árbol AVL luego de una inserción es 2 y luego de una eliminación es log(n) dónde n es el número de nodos.
En las secciones anteriores hemos ya descripto a grandes razgos cuál rotación usar en cada caso de desequilibrio. Esperamos que en el código siguiente el lector pueda formalizar tales ideas.
void balancear (AVLTree ** t);
- Declaración de la función balancear(). Esta declaración junto con el comentario que le sigue deberían estar en un archivo de cabecera usado para la interfaz del tipo abstracto de dato árbol avl con el usuario-programador.
- Como dice en el comentario de la función, sólo se contemplarán aquellos desequilibrios cuya diferencia entre alturas es hasta 2.
- Sabiendo que en el nodo al que apunta *t hay un desequilibrio hacia la izquierda (de diferencia de alturas 2), debemos averiguar qué clase de rotación aplicar. En Figure 12 se explica gráficamente a dónde apuntan las variables de la función en un árbol genérico.
Como puede verse en el código, nos decidimos por una rotación simple izquierda si el subárbol más pesado de (*t)->izq es el izquierdo o por una rotación doble izquierda si el subárbol más pesado de (*t)->izq es el derecho.
- Si detectamos un desequilibrio hacia la derecha, la toma de deciciones son análogas a las de un desequilibrio hacia la izquierda, las cuales ya explicamos.
Inserción
Como dijimos en the Section called Balance del árbol, implementaremos la inserción de elementos en un árbol AVL de forma análoga a cómo lo haríamos para árboles binarios de búsqueda salvo que en cada recursión del algoritmo verificaremos y corregiremos el equilibrio del árbol. También es importante ir actualizando las alturas de cada nodo en cada recursión dado que las rotaciones, inserciónes y eliminaciones pueden modificarlas.
Dado que ya vimos funciones tanto para balancear un árbol y para actualizar la altura de un nodo (ambas de tiempo de ejecución constante), estamos listos para implementar el algoritmo de inserción. Esperamos que sea intuitivo.
void insertar (AVLTree ** t, int x);
/* inserta x en el árbol en un tiempo O(log(n)) peor caso. */
void
insertar (AVLTree ** t, int x)
{
if (es_vacio (*t))
*t = hacer (x, vacio (), vacio ()); /* altura actualizada
automáticamente */
else
{
if (x < raiz (*t))
insertar (&(*t)->izq, x);
else
insertar (&(*t)->der, x);
balancear (t);
actualizar_altura (*t);
}
}
Eliminación
La estrategia para diseñar el algoritmo de eliminación sobre árboles AVL es la misma que para la inserción: Se utiliza el mismo algoritmo que sobre árboles binarios de búsqueda, pero en cada recursión se detectan y corrijen errores por medio de balancear() y se actualiza la altura del nodo actual.
Recordamos un poco la idea del algoritmo de eliminación sobre árboles binarios de búsqueda. Primero se recorre el árbol para detectar el nodo a eliminar. Una vez hecho esto hay tres casos a diferenciar por su complejidad:
Si dicho nodo es una hoja procedemos a eliminarlos de inmediato, sin más.
Si dicho nodo tiene un sólo hijo, el nodo puede eliminarse después de ajustar un apuntador del padre para saltar el nodo. Esto se muestra en Figure 13.
Si dicho nodo tiene dos hijos el caso es un poco más complicado. Lo que se estila hacer (y que de hecho se hace en el algoritmo gracias a la función auxiliar eliminar_min()) reemplazar el nodo actual por el menor nodo de su subárbol derecho (y luego eliminar éste).
void eliminar (AVLTree ** t, int x);
/* elimina x del árbol en un tiempo O(log(n)) peor caso.
Precondición: existe un nodo con valor x en el árbol
t. */
int eliminar_min (AVLTree ** t);
/* Función auxiliar a eliminar(). Elimina el menor nodo del árbol
*t devolviendo su contenido (el cual no se libera de
memoria). Se actualizan las alturas de los nodos.
Precondición: !es_vacio(*t) */
void
eliminar (AVLTree ** t, int x)
{
AVLTree *aux;
if (x < raiz (*t))
eliminar (&(*t)->izq, x);
else if (x > raiz (*t))
eliminar (&(*t)->der, x);
else /* coincidencia! */
{
if (es_vacio (izquierdo (*t)) && es_vacio (derecho (*t)))
{/* es una hoja */
free (*t);
(*t) = vacio();
}
else if (es_vacio (izquierdo (*t)))
{/* subárbol izquierdo vacio */
aux = (*t);
(*t) = (*t)->der;
free (aux);
}
else if (es_vacio (derecho (*t)))
{/* subárbol derecho vacio */
aux = (*t);
(*t) = (*t)->izq;
free (aux);
}
else /* caso más complicado */
{
(*t)->dato = eliminar_min (&(*t)->der);
}
}
balancear (t);
actualizar_altura (*t);
}
int
eliminar_min (AVLTree ** t)
{
if (es_vacio (*t))
{
fprintf (stderr,
"No se respeta precondición de eliminar_min()\n");
exit(0);
}
else
{
if (!es_vacio (izquierdo (*t)))
{
int x = eliminar_min (&(*t)->izq);
balancear (t);
actualizar_altura (*t);
return x;
}
else
{
AVLTree *aux = (*t);
int x = raiz (aux);
*t = derecho (*t);
free (aux);
balancear (t);
actualizar_altura (*t);
return x;
}
}
}
Conclusión
No realizada aún.
Performance
No realizada aún. Hacer: comparaciones de tiempos con otros TADs similares (ABB, Heaps, linkedlists, etc).
Bibliography
A. GNU Free Documentation License
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7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS
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If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.
8. TRANSLATION
Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.
If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.
9. TERMINATION
You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.
10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE
The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/.
Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.
ADDENDUM: How to use this License for your documents
To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page:
Copyright (c) YEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License".
If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts, replace the "with...Texts." line with this:
with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.
If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other combination of the three, merge those two alternatives to suit the situation.
If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in free software.